Question

10．已知△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=90°，连结BE，AD，相交于点F．求证：
（1）AD=BE；  
（2）AD⊥BE．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ECD=∠ACB=90°，CD=CE，CA=CB，则有∠BCE=∠DCA，根据“SAS”可判断△BCE≌△ACD，根据全等三角形的性质得到BE=AD；
（2）由△BCE≌△ACD得到∠CBF=∠CAD，然后根据∠ABC+∠CAD+∠BAD=90°，得到∠ABC+∠CBF+∠BAD=90°，最后根据三角形的内角和定理可知∠AFB=90°．

解答 证明：（1）∵△ABC与△CDE都是等腰直角三角形
∴CE=CD，CB=CA，∠DCE=∠ACB=90°．
∴∠DCE+∠BCD=∠ACB+∠BCD．
∴∠ECB=∠DCA．
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ECB=∠DCA}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
∴BE=AD．
（2）由（1）得：△BCE≌△ACD
∴∠CBF=∠CAD．
∵∠ABC+∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠ABC+∠CBF+∠BAD=90°．
∴∠AFB=90°．
∴AD⊥BE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证得△BCE≌△ACD是解题的关键．