Question

18．如图，△AOB为等腰直角三角形，点P为动点，PA⊥PB．
（1）如图（1），为P点在第一象限时，求∠OPA；
（2）如图（2），为P点在第二象限时，求∠OPA．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠AOB+∠APB=180°，推出A，P，B，O四点共圆，根据圆周角定理得到∠OPA=∠ABO，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABO=45°，于是求得∠OPA=45°；
（2）由已知条件得到∠AOB=∠APB=90°，推出A，P，B，O四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到∠OPA+∠ABO=180°，即可得到结论．

解答 解：（1）∵PA⊥PB，
∴∠AOB=∠APB=90°，
∴∠AOB+∠APB=180°，
∴A，P，B，O四点共圆，
∴∠OPA=∠ABO，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∴∠OPA=45°；

（2）∵PA⊥PB，
∴∠AOB=∠APB=90°，
∴A，P，B，O四点共圆，
∴∠OPA+∠ABO=180°，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∴∠OPA=135°．

点评 本题考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，证得A，P，B，O四点共圆是解题的关键．