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如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A、D),Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F.

(1)求证:△APE∽△ADQ;
(2)设AP的长为x,试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式,并求当P在何处时,S△PEF取得最大值?最大值为多少?
(3)当Q在何处时,△ADQ的周长最小?(须给出确定Q在何处的过程或方法,不必给出证明)
(1)证∠APE=∠ADQ,∠AEP=∠AQD.
(2)注意到△APE∽△ADQ与△PDE∽△ADQ,及S△PEF=
得S△PEF==.  ∴当,即P是AD的中点时,S△PEF取得最大值.
(3)作A关于直线BC的对称点A′,连DA′交BC于Q,则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点,此时Q是BC的中点.
(1)证得∠APE=∠ADQ,∠AEP=∠AQD,即可得到△APE∽△ADQ;
(2)先由△APE∽△ADQ与△PDE∽△ADQ,及S△PEF=
得S△PEF==,根据二次函数的性质即可结果;
(3)作A关于直线BC的对称点A′,连DA′交BC于Q,则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点,此时Q是BC的中点.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

巴南区为了贯彻落实“森林重庆”,深入开展“绿化长江—重庆行动”。现决定对本区培育种植树苗的农民实施政府补贴,规定每种植一亩树苗一次性补贴农民若干元,随着补贴数额的不断增大,生产规模也不断增加,但每亩树苗的收益会相应降低。经调查,种植亩数y(亩)、每亩树苗的收益z(元)与补贴树额x(元)之间的一次函数关系如下表:

(1)分别求出政府补贴政策实施后种植亩数y、每亩树苗的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式;
(2)要使我区种植树苗的总收益w(元)最大,政府应将每亩补贴数额x定为多少?并求出总收益w的最大值和此时种植的亩数;(总收益=种植亩数每亩树苗的收益)
(3)在取得最大收益的情况下,经市场调查,培育种植水果类树苗经济效益更好,今年该地区决定用种植树苗总面积m﹪的土地种植水果类树苗,因环境和经济等因素的制约,种植水果类树苗的面积不超过300亩 .经测算,种植水果类树苗需用的支架、塑料膜等材料每亩费用为2700元,此外还需购置喷灌设备,这项费用(元)与种植水果类树苗面积(亩)的平方成正比例,比例系数为9.预计今年种植水果类树苗后的这部分土地的收益比没种植前的收益每亩增加了7500元,这样,该地区今年因种植水果类树苗而增加的收益(扣除材料费和设备费后)共570000元.求m的值.
(结果精确到个位,参考数据:

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中,二次函数经过点O、A、B三点,且A点坐标为(4,0),B的坐标为(m,),点C是抛物线在第三象限的一点,且横坐标为-2.

(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式。
(2)直线BC与 x轴相交于点D,求△OBC的面积

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点是C(0,1),直线l:y=-ax+3与这条抛物线交于P、Q两点,与x轴、y轴分别交于点M和N。
(1)设点P到x轴的距离为2,试求直线l的函数关系式;
(2)若线段MP与PN的长度之比为3:1,试求抛物线的函数关系式。

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为,将此三角板绕原点顺时针旋转,得到
(1)如图,一抛物线经过点,求该抛物线解析式;
(2)设点是在第一象限内抛物线上一动点,求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图二次函数的图象经过两点,且交轴于点
(1)试确定的值;
(2)过点轴交抛物线于点为此抛物线的顶点,试确定的形状.
参考公式:顶点坐标 

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

已知二次函数的y与x的部分对应值如下表:
X

-1
0
1
3

y

-3
1
3
1

 
则下列判断中正确的是(    )
A.抛物线开口向上             B.抛物线与y轴交于负半轴
C.当x=4时,y>0               D.方程的正根在3与4之间

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

二次函数图象的顶点坐标是 _  __   __

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

二次函数的图象如图所示,则 的值是(    )
A.B.C.D.

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