Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a＞0）的顶点是C（0，1），直线l：y＝－ax＋3与这条抛物线交于P、Q两点，与x轴、y轴分别交于点M和N。
（1）设点P到x轴的距离为2，试求直线l的函数关系式；
（2）若线段MP与PN的长度之比为3:1，试求抛物线的函数关系式。

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点是C（0，1），∴b=0，c=1，
如图1，

∵a>0，直线l过点N（0，3）
∴M点在x轴正半轴上
∵点P到x轴的距离为2，即点P的纵坐标为2。
把y=2代入得，
∴P点坐标为（，2）      
∵直线与抛物线交于点P
∴点P在上，
∴a=1
∴直线l的函数关系式为       
（2）如图2，若点P在y轴的右边，记为P₁，过点P₁作P₁A⊥x轴于A，

，

，
，即
∵ON=3，，即点P₁的纵坐标为
把代入，得
∴点P₁的坐标为（）       
又∵点P₁是直线l与抛物线的交点。∴点P₁在抛物线上，
  

∴抛物线的函数关系式为    
如图2，若点P在y轴的左边，记为P₂。作P₂B⊥x轴于B

。，
，
，即
∵ON=3，，即点P₂的纵坐标为
由P₂在直线l上可求得    
又∵P₂在抛物线上，
∴抛物线的函数关系式为     

（1）由于抛物线的顶点为C（0，1），因此抛物线的解析式中b=0，c=1．即抛物线的解析式为y=ax²+1．已知了P到x轴的距离为2，即P点的纵坐标为2．可根据直线l的解析式求出P点的坐标，然后将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求得a的值，也就能求出直线l的函数关系式．
（2）本题要根据相似三角形来求．已知了线段MP与PN的长度之比为3：1，如果过P作x轴的垂线，根据平行线分线段成比例定理即可得出P点的纵坐标的值．进而可仿照（1）的方法，先代入直线的解析式，然后再代入抛物线中即可求出a的值，也就求出了抛物线的解析式