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    如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
    （1）“抛物线三角形”一定是
     
    三角形；
    （2）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由；
    （3）在（2）的条件下，若以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点，求出r的取值范围．
    考点：二次函数综合题
    专题：压轴题
    分析：（1）根据抛物线的对称性可知AO=AB，然后根据等腰三角形的定义判断；
    （2）根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB，然后判断出△AOB是等边三角形，令y=0求出点B的坐标，得到OB的长，再根据等边三角形的性质求出OE、AE，从而得到点A的坐标，然后代入抛物线解析式求出b的值，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出点C、D的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
    （3）求出DE的长，再利用锐角三角函数求出点E到AD的距离，然后根据圆与线段只有一个交点写出r的取值范围即可．
    解答：解：（1）∵O、B是抛物线与x轴的两个交点，A是抛物线的顶点，
    ∴AO=AB，
    ∴△AOB是等腰三角形，
    ∴“抛物线三角形”一定是等腰三角形；

    （2）∵以原点O为对称中心的四边形ABCD是矩形，
    ∴OA=OB，
    ∴△AOB是等边三角形，
    令y=0，则-x2+bx=0，
    解得x1=0，x2=b，
    ∴OB=b，
    ∵AE⊥OB，
    ∴OE=
    b
    2
    ，AE=
    		3
    2
    b，
    ∴点A的坐标为（
    b
    2
    ，
    		3
    2
    b），
    代入抛物线得，-（
    b
    2
    ）2+b×
    b
    2
    =
    		3
    2
    b，
    解得b=2
    		3
    ，
    ∴点A（
    		3
    ，3），
    ∵C、D分别为A、B关于原点的对称点，
    ∴C（-
    		3
    ，-3），D（-2
    		3
    ，0），
    设过O、C、D三点的抛物线的表达式为y=ax2+bx，
    则
    3a-
    		3
    b=-3
    12a-2
    		3
    b=0
    ，
    解得
    a=1
    b=2
    		3
    ，
    所以，过O、C、D三点的抛物线的表达式为y=x2+2
    		3
    x；

    （3）由（2）可知，∵△AOB是等边三角形，
    ∴∠ADE=90°-60°=30°，
    又∵DE=OE+OD=
    2
    		3
    2
    +2
    		3
    =3
    		3
    ，
    ∴点E到AD的距离=DE•sin30°=3
    		3
    ×
    1
    2
    =
    3
    		3
    2
    ，
    ∴当r=
    3
    		3
    2
    或3＜r≤3
    		3
    时，以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线的对称性，矩形的性质等边三角形的判定与性质，关于原点对称的点的坐标，直线与圆的位置关系，读懂题目信息，理解“抛物线三角形”是解题的关键，（3）要注意圆与线段AD相切的情况．
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    x
    x-2
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    ．

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    （x-
    x2
    x+1
    ）÷（1-
    x2
    x2-1
    ），其中x=1+
    		2
    ．

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    如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

    sin2A1+sin2B1=
     
    ；sin2A2+sin2B2=
     
    ；sin2A3+sin2B3=
     
    ．
    （1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=
     
    ．
    （2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
    （3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=
    5
    13
    ，求sinB．

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    已知m、n为有理数，且m（2-
    		3
    ）+n（1+2
    		3
    ）=5，求m、n值．

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    小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图a，若点A，B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使得AP+BP的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：
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    若19a2+99a+1=0，b2+99b+19=0，求
    ab+4a+1
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    二次函数y=x2-4x的顶点坐标是
     
    ．

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