Question

小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图a，若点A，B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使得AP+BP的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：
 ①作点B关于直线m的对称点B′；②连接AB′，与直线m的交点P，则点P为所求线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
请你参考小明的做法解决下列问题：

（1）如图b，在等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），使得BP+PE的值最小，并求出最小值；
（2）如图c，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E，F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图c中确定点E，F的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出四边形CGEF周长的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）利用轴对称作出E点对称点E′，连接E′B即可得出P点坐标，要求BP+PE的值最小值，利用已知由勾股定理求出即可；
（2）利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出．

解答：解：（1）如图b，作E点关于AD的对称点E′，连接BE′，交AD于点P，连接EP，
∵在等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，
∴E′为AC的中点，
∴BE′⊥AC，
BE′=EP+BP=

BC2-E′C2

=

22-12

=

3

；

（2）如图c，作G关于AB的对称点M，
在CD上截取CH=1，然后连接HM交AB于E，
在EB上截取EF=1，
那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．
∵AB=4，BC=6，G为边AD的中点，
∴DG=AG=AM=3，
∵AE∥DH，
∴

AE

DH

=

AM

DM

，
∴

AE

CD-HC

=

1

3

，

AE

3

=

1

3

，
故AE=1，
∴GE=

12+32

=

10

，
BF=2，CF=

BF2+BC2

=

22+62

=2

10

，
CG=

DC2+DG2

=5，
∴C_{四边形GEFC}=GE+EF+FC+CG=6+3

10

．

点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，利用GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值得出E，F位置是解题关键．