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【题目】如图,在等腰△ABC中,ABBC,以AB为直径的半圆分别交ACBC于点DE两点,BF⊙O相切于点B,交AC的延长线于点F

1)求证:DAC的中点;

2)若AB12sinCAE,求CF的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)CF=.

【解析】

1)连接BD,由圆周角定理知DBAC,根据等腰三角形三线合一的性质即可证得DAC的中点.
2)根据切线的性质得到∠ABF=90°,根据同弧所对的圆周角相等,得到∠CAE=∠CBD,又∠CBD=∠ABD,∠ABD=∠F,则sinCAEsinFsinABD,则

即可求出的长度,即可求解.

(1)证明:连接DB

AB是⊙O直径,

∴∠ADB90°

DBAC

又∵ABBC

DAC的中点.

(2)解:∵BF与⊙O相切于点B

∴∠ABF90°

∵∠CAE=∠CBD

∴∠CBD=∠ABD,∠ABD=∠F

sinCAEsinFsinABD

∴在ADBABF中,

AB12

CFAFAC-=.

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知:如图,在RtABO中,∠B=90°,∠OAB=30°,OA=3.以点O为原点,斜边OA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,以点P40)为圆心,PA长为半径画圆,⊙Px轴的另一交点为N,点M在⊙P上,且满足∠MPN=60°.⊙P以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动,设运动时间为ts,解答下列问题:

(发现)(1的长度为多少;

2)当t=2s时,求扇形MPN(阴影部分)与RtABO重叠部分的面积.

(探究)当⊙P和△ABO的边所在的直线相切时,求点P的坐标.

(拓展)当RtABO的边有两个交点时,请你直接写出t的取值范围.

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【题目】校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”,随机抽取了部分学生进行调查,下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图:

请你根据统计图回答下列问题:

(1)喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少?并请补全条形统计图;

(2)请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名?

(3)在扇形统计图中,“篮球”部分所对应的圆心角是多少度?

(4)篮球教练在制定训练计划前,将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两人进行个别座谈,请用列表法或树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率.

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【题目】如图,在一条河的北岸有两个目标MN,现在位于它的对岸设定两个观测点AB.已知ABMN,在A点测得∠MAB=60°,在B点测得∠MBA=45°,AB=600米.

(1)求点MAB的距离;(结果保留根号)

(2)B点又测得∠NBA=53°,求MN的长.(结果精确到1米)

(参考数据:≈1.732,sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.33,cot53°≈0.75)

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【题目】如图,抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点,其中A(﹣3,0),C(0,4),点Bx轴上,AC=BC,过点BBDx轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点,且CM=BN,连接MN,AM,AN.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;

(2)当CMN是直角三角形时,求点M的坐标;

(3)试求出AM+AN的最小值.

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【题目】如图,剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起,转动其中一张,重合部分构成一个四边形,则下列结论中不一定成立的是(  )

A. ABC=ADC,BAD=BCD B. AB=BC

C. AB=CD,AD=BC D. DAB+BCD=180°

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图1,在RtABC中,∠ACB=90°,ABC=30°,则:AC=AB.

探究结论:小明同学对以上结论作了进一步研究.

(1)如图1,连接AB边上中线CE,由于CE=AB,易得结论:①△ACE为等边三角形;②BECE之间的数量关系为  

(2)如图2,点D是边CB上任意一点,连接AD,作等边ADE,且点E在∠ACB的内部,连接BE.试探究线段BEDE之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明.

(3)当点D为边CB延长线上任意一点时,在(2)条件的基础上,线段BEDE之间存在怎样的数量关系?请直接写出你的结论  

拓展应用:如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣,1),点Bx轴正半轴上的一动点,以AB为边作等边ABC,当C点在第一象限内,且B(2,0)时,求C点的坐标.

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【题目】如图1,在ABCD中,DHAB于点H,CD的垂直平分线交CD于点E,交AB于点F,AB=6,DH=4,BF:FA=1:5.

(1)如图2,作FGAD于点G,交DH于点M,将DGM沿DC方向平移,得到CG′M′,连接M′B.

①求四边形BHMM′的面积;

②直线EF上有一动点N,求DNM周长的最小值.

(2)如图3,延长CBEF于点Q,过点QQKAB,过CD边上的动点PPKEF,并与QK交于点K,将PKQ沿直线PQ翻折,使点K的对应点K′恰好落在直线AB上,求线段CP的长.

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【题目】已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,﹣5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点),则m的取值范围为_____

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