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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.

(1)若∠A = 40°,求∠DCB的度数.

(2)若AE=4,△DCB的周长为13,求△ABC的周长.

【答案】(1)30°(2)21

【解析】试题分析:(1)由在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,根据等腰三角形的性质,可求得∠ACB的度数,又由线段垂直平分线的性质,可得AD=CD,即可求得∠ACD的度数,继而求得答案;
(2)由AE=4,△DCB的周长为13,即可求得△ABC的周长.

试题解析:

(1)在△ABC中 ∵AB=AC ,∠A=40°

∴∠ABC =∠ACB= =70°,

DE垂直平分AC,

DA=DC,

∴在△DAC中,∠DCA=∠A=40°,

∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=70°-40°=30°,

(2)∵DE垂直平分AC,

DA=DCEC=EA=4,

∴AC=2AE=8,

C△ABC=ACBCBD+DA=8+BCBD+DC=8+C△CBD=8+13=21.

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下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明.

证明:在边AB上截取AE=MC,连ME

正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°AB=BC

∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB

=180°—∠B—∠AMB

=∠MAB=∠MAE

(下面请你完成余下的证明过程)

2)若将(1)中的正方形ABCD”改为正三角形ABC”(如图2,N∠ACP的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还成立?请说明理由.

3)若将(1)中的正方形ABCD”改为边形ABCD…X”,请你作出猜想:当∠AMN=°时,结论AM=MN仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)

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