Question

我们规定：函数y=

ax+k

x+b

（a、b、k是常数，k≠ab）叫奇特函数．当a=b=0时，奇特函数y=

ax+k

x+b

就是反比例函数y=

k

x

（k是常数，k≠0）．
（1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为奇特函数；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若奇特函数y=

ax+k

x-4

的图象经过点B、E，求该奇特函数的表达式；
（3）把反比例函数y=

2

x

的图象向右平移4个单位，再向上平移

 

个单位就可得到（2）中得到的奇特函数的图象；
（4）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个奇特函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧），如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,反比例函数系数k的几何意义,平行四边形的判定与性质,中心对称图形

专题：压轴题,新定义

分析：（1）只需运用矩形的面积公式就可求出函数关系式，从而解决问题；
（2）可先求出直线OB和直线CD的解析式，求出它们的交点E的坐标，然后只需运用待定系数法就可解决问题；
（3）只需将（2）中所求的奇特函数y=

2x-6

x-4

转化为y=2+

2

x-4

，就可解决问题；
（4）将坐标原点平移到点M的位置，构建新的坐标系，在新的坐标系中，分点P在点B的左边和右边两种情况讨论，只需先求出点P在新坐标系下的坐标，就可求出点P在原坐标系下的坐标．

解答：解：（1）由题意得：（2+x）（3+y）=8．
即3+y=

8

x+2

，
∴y=

8

x+2

-3=

-3x+2

x+2

．
根据定义，y=

-3x+2

x+2

是奇特函数．

（2）如图1，

由题意得：B（6，3）、D（3，0），
设直线OB的解析式为y=mx，
则有6m=3，
解得：m=

1

2

，
∴直线OB的解析式为y=

1

2

x．
设直线CD的解析式为y=kx+b，

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴直线CD的解析式为y=-x+3．
解方程组

y= 1 2 x y=-x+3

，得

x=2 y=1

，
∴点E（2，1）．
将点B（6，3）和E（2，1）代入y=

ax+k

x-4

得

6a+k 6-4 =3 2a+k 2-4 =1

，
解得：

a=2 k=-6

，
∴奇特函数的表达式为y=

2x-6

x-4

．

（3）∵y=

2x-6

x-4

=

2x-8+2

x-4

=2+

2

x-4

．
∴把反比例函数y=

2

x

的图象向右平移4个单位，再向上平移2个单位，
就可得到奇特函数y=

2x-6

x-4

的图象；
故答案为：2．

（4）满足条件的点P的坐标为（2

5

，

5

+4）或（2

5

+8，

5

）．
提示：①若点P在点B的左边，如图2①，

以点M为原点，构建如图2①所示的新坐标系，
在该坐标系下该奇特函数的解析式为y′=

2

x′

，点B的新坐标为（2，1）．
∵直线PQ与双曲线y′=

2

x′

都是以点M为对称中心的中心对称图形，
∴MP=MQ．
∵MB=ME，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
∴S_?BPEQ=4S_△BMP=16，
∴S_△BMP=4．
过点P作PG⊥x′轴于G，过点B作BH⊥x′轴于H，
根据反比例函数比例系数的几何意义可得：
S_△PGM=S_△BHM=

1

2

×2=1，
∴S_△BMP=S_△PGM+S_梯形BHGP-S_△BHM=S_梯形BHGP=4，
设点P在新坐标系中的坐标为（x′，

2

x′

），
则有S_梯形BHGP=

1

2

（1+

2

x′

）•（2-x′）=4，
解得x₁′=-4-2

5

（舍去），x₂′=-4+2

5

，
当x=-4+2

5

时，

2

x′

=

2

-4+2 5

=

5

+2，
即点P在新坐标系中的坐标为（-4+2

5

，

5

+2），
∴点P在原坐标系中的坐标为（-4+2

5

+4，

5

+2+2）即（2

5

，

5

+4）；
②若点P在点B的右边，如图2②，

同理可得：
点P在原坐标系中的坐标为（4+2

5

+4，

5

-2+2）即（2

5

+8，

5

）．

点评：本题属于新定义型，考查了运用待定系数法求函数的解析式，求两函数图象的交点、平行四边形的判定与性质、反比例函数比例系数的几何意义等知识，运用平移坐标轴法是解决第（4）小题的关键．