Question

16．已知：二次函数y=mx²-（m+1）x+1．
（1）求证：该抛物线与x轴总有交点；
（2）若m为整数，当一元二次方程mx²-（m+1）x+1=0的根都是整数时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值得到△=（m-1）²，利于非负数的性质可判断△≥0，然后根据△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点可得到结论；
（2）先利用公式法解方程得到x₁=1，x₂=$\frac{1}{m}$，然后利用整数的整除性确定m的值．

解答 （1）证明：△=（m-1）²-4m=（m-1）²，
∵（m-1）²≥0，
∴△≥0，
∴该抛物线与x轴总有交点；
（2）解：∵x=$\frac{m+1±|m-1|}{2m}$，
∴x₁=1，x₂=$\frac{1}{m}$，
当m为整数1或-1时，x₂为整数，该方程的两个实数根都是整数，
∴m的值为1或-1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．