Question

6．如图，直线y=x+m和抛物线y=x²+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式．
（2）求不等式x²+bx+c＞x+m的解集；（直接写出答案）
（3）若M（a，y₁），N（a+1，y₂）两点都在抛物线y=x²+bx+c上，试比较y₁与y₂的大小．

Answer 1

分析 （1）分别把点A（1，0），B（3，2）代入直线y=x+m和抛物线y=x²+bx+c，利用待定系数法解得y=x-1，y=x²-3x+2；
（2）根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据图象可知，x²-3x+2＞x-1的图象上x的范围是x＜1或x＞3；
（3）直接根据函数图象即可得出结论．

解答 解：（1）∵把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x²+bx+c得：
0=1+m，$\left\{\begin{array}{l}0=1+b+c\\ 2=9+3b+c\end{array}\right.$，
∴m=-1，b=-3，c=2，
∴y=x-1，y=x²-3x+2；

（2）由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，不等式x²+bx+c＞x+m的解集；

（3）将M（a，y₁），N（a+1，y₂）两点代入y=x²-3x+2，得：
y₁=a²-3a+2，y₂=（a+1）²-3（a+1）+2=a²-a．
则y₁-y₂=a²-3a+2-（a²-a）=2-2a．
①当2-2a＞0，即a＜1时，y₁＞y₂；
②当2-2a=0，即a=1时，y₁=y₂；
③当2-2a＜0，即a＞1时，y₁＜y₂；
所以当a＜1时，y₁＞y₂；当a=1时，y₁=y₂；当a＞1时，y₁＜y₂；．

点评 本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意画出图形，利用数形结合求不等式的解集是解答此题的关键．