Question

5．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 作CE⊥AB于E，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{5}$，利用三角形面积公式求出CE，根据勾股定理求出AE，根据垂径定理计算即可．

解答 解：作CE⊥AB于E，
则AE=$\frac{1}{2}$AD，
∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
$\frac{1}{2}$×AB×CE=$\frac{1}{2}×$AC×BC，即$\frac{1}{2}×$$\sqrt{5}$×CE=$\frac{1}{2}×1×2$，
解得，CE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则AD=2AE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．