Question

17．同学们，我们知道一元二次方程ax²+bx+c=0若有根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，不解方程x²-x-1=0，设它的根为x₁、x₂，求下列各式的值．
（1）x₁²+x₂²；                        
（2）x₁-x₂；
（3）若实数a、b满足a²-a-2=0，b²-b-2=0，且a≠b，试求出$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$的值．

Answer 1

分析 （1）x₁、x₂是方程x²-x-1=0的两实数根，根据x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，即可求出答案；
（2）x₁、x₂是方程x²-x-1=0的两实数根，根据x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，即可求出答案；
（3）根据a、b满足a²-a-2=0，b²-b-2=0，且a≠b，于是得到a，b是方程x²-x-2=0的根，然后根据根与系数的关系即可得到结论．

解答 解：∵方程x²-x-1=0，设它的根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=1，x_1•x₂=-1，
（1）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x_1•x₂=1²+2=3；
（2）∵|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{{x}_{2}）}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴x₁-x₂=$±\sqrt{5}$；

（3）∵a、b满足a²-a-2=0，b²-b-2=0，且a≠b，
∴a，b是方程x²-x-2=0的根，
∴$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}=\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$=-$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，难度一般，关键掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．