Question

如图，在△OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4，0），点B坐标为（2，），AB⊥y轴，点A为垂足，OH⊥BC，点H为垂足．动点P、Q分别从点O、A同时出发，点P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点O运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P的运动时间为t秒．
（1）求证：OB=CB；
（2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；
（3）当PQ⊥OB（垂足为点M）时，求五边形ABHPQ的面积的值．

Answer 1

解：（1）∵OB==4，
CB==4，
∴OB=CB；

（2）易证：△OBC为等边三角形，
∵OH⊥BC，
∴∠BOH=∠HOC=30°，
∴∠AOB=30°，
过点P作PE⊥OA垂足为点E，
在Rt△PEO中，∠EPO=30°，PO=t，
∴EO=PO=，由勾股定理得：，
又∵OQ=AO-AQ=-t，
∴S=OQ•PE=（-t）•=，
即：S=（0＜t＜）．

（3）易证Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，
∴S_{四边形OABH}=S_△OAB+S_△OHB=S_△OHB+S_△OHC=S_△OBC=×4×=4，
易证△OPQ为等边三角形，
∴OQ=OP，
即：=t，解得t=，
∴S_△OPQ=OP×OP=，
∴S_{五边形ABHPQ}=S_{四边形OABH}-S_△OPQ=4-=．
分析：（1）根据勾股定理，易得OB=CB；
（2）由题意，∠BOH=∠HOC=30°，则可得∠AOB=30°，过点P作PE⊥OA垂足为点E，在Rt△PEO中，∠EPO=30°，PO=t，EO=PO=，由勾股定理可得；OQ=AO-AQ=-t，即可求出函数关系式及定义域；
（3）由题意可得，Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，△OPQ为等边三角形，所以，S_{四边形OABH}=S_△OBC=×4×=4，由OP=OQ，可得S_△OPQ=OP×OP=，面积差即为五边形ABHPQ的面积．
点评：本题主要考查等边三角形、全等三角形的判定与性质和勾股定理，由已知判定三角形OPQ为等边三角形是解答本题的关键．