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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在△OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4，0），点B坐标为（2，2
    		3
    ），AB⊥y轴，点A为垂足，OH⊥BC，点H为垂足．动点P、Q分别从点O、A同时出发，点精英家教网P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点O运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P的运动时间为t秒．
    （1）求证：OB=CB；
    （2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；
    （3）当PQ⊥OB（垂足为点M）时，求五边形ABHPQ的面积的值．
    分析：（1）根据勾股定理，易得OB=CB；
    （2）由题意，∠BOH=∠HOC=30°，则可得∠AOB=30°，过点P作PE⊥OA垂足为点E，在Rt△PEO中，∠EPO=30°，PO=t，EO=
    1
    2
    PO=
    t
    2
    ，由勾股定理可得PE=
    		3
    2
    t    ；OQ=AO-AQ=2
    		3
    -t，即可求出函数关系式及定义域；
    （3）由题意可得，Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，△OPQ为等边三角形，所以，S四边形OABH=S△OBC=
    1
    2
    ×4×2
    		3
    =4
    		3
    ，由OP=OQ，可得S△OPQ=
    1
    2
    OP×
    		3
    2
    OP=
    3
    		3
    4
    ，面积差即为五边形ABHPQ的面积．
    解答：精英家教网解：（1）∵OB=
    		22+(2
    		3
    )    2
    =4，
    CB=
    		(2-4)2+(2
    		3
    )    2
    =4，
    ∴OB=CB；

    （2）易证：△OBC为等边三角形，
    ∵OH⊥BC，
    ∴∠BOH=∠HOC=30°，
    ∴∠AOB=30°，
    过点P作PE⊥OA垂足为点E，
    在Rt△PEO中，∠EPO=30°，PO=t，
    ∴EO=
    1
    2
    PO=
    t
    2
    ，由勾股定理得：PE=
    		3
    2
    t    ，
    又∵OQ=AO-AQ=2
    		3
    -t，
    ∴S=
    1
    2
    OQ•PE=
    1
    2
    （2
    		3
    -t）•
    		3
    2
    t    =
    6t-
    		3
    t2
    4
    ，
    即：S=-
    		3
    4
    t2+
    3
    2
    t    （0＜t＜2
    		3
    ）．

    （3）易证Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，
    ∴S四边形OABH=S△OAB+S△OHB=S△OHB+S△OHC=S△OBC=
    1
    2
    ×4×2
    		3
    =4
    		3
    ，
    易证△OPQ为等边三角形，
    ∴OQ=OP，
    即：2
    		3
    -t    =t，解得t=
    		3
    ，
    ∴S△OPQ=
    1
    2
    OP×
    		3
    2
    OP=
    3
    		3
    4
    ，
    ∴S五边形ABHPQ=S四边形OABH-S△OPQ=4
    		3
    -
    3
    		3
    4
    =
    13
    4
    		3
    ．
    点评：本题主要考查等边三角形、全等三角形的判定与性质和勾股定理，由已知判定三角形OPQ为等边三角形是解答本题的关键．
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