Question

2．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为2或4秒．

Answer 1

分析 分两种情况：①E点在DC上；②E点在DC延长线上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间t即可．

解答 解：分两种情况：
①如图1，E点在DC上时，易证△ADE≌△DCF，
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠CDF+∠AED=90°，
∴∠APD=90°，AE⊥DF．
AE=$\sqrt{{2}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$，
DP=$\frac{AD•DE}{AE}$=$\frac{2t\sqrt{4+{t}^{2}}}{4+{t}^{2}}$，
AP=$\sqrt{4-\frac{4{t}^{2}}{4+{t}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{4+{t}^{2}}}{4+{t}^{2}}$，
∵以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，∠QAP=∠PDC，∠AQP与∠DPC是钝角，
∴△APQ∽△DCP，
∴$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{PD}{DC}$，即$\frac{2÷2}{\frac{4\sqrt{4+{t}^{2}}}{4+{t}^{2}}}$=$\frac{\frac{2t\sqrt{4+{t}^{2}}}{4+{t}^{2}}}{2}$，
解得t=2；
②如图2，E点在DC延长线上时，
同理，可得△ADE≌△DCF，
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，AE⊥DF．
AE=$\sqrt{{2}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4+{t}^{2}}$，
DP=$\frac{AD•DE}{AE}$=$\frac{2t\sqrt{4+{t}^{2}}}{4+{t}^{2}}$，
AP=$\sqrt{4-\frac{4{t}^{2}}{4+{t}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{4+{t}^{2}}}{4+{t}^{2}}$．
∵∠QAP=∠PDC，
∴以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似时，可能△APQ∽△DCP，也可能△APQ∽△DPC．
如果△APQ∽△DCP，那么$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{PD}{DC}$，即$\frac{2÷2}{\frac{4\sqrt{4+{t}^{2}}}{4+{t}^{2}}}$=$\frac{\frac{2t\sqrt{4+{t}^{2}}}{4+{t}^{2}}}{2}$，解得t=2，不合题意舍去；
如果△APQ∽△DPC，那么$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{DC}{PD}$，即$\frac{2÷2}{\frac{4\sqrt{4+{t}^{2}}}{4+{t}^{2}}}$=$\frac{2}{\frac{2t\sqrt{4+{t}^{2}}}{4+{t}^{2}}}$，解得t=4．
综上所述，以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似时，运动时间t为2或4秒．
故答案为2或4．

点评 考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，本题关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用．