Question

10．如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，点D在CA的延长线上，DE⊥BC，垂足为点E，DE与⊙O相交于点H，与AB相交于点l，过点A作⊙O的切线AF，与DE相交于点F．
（1）求证：∠DAF=∠ABO；
（2）当AB=AD时，求证：BC=2AF；
（3）如图2，在（2）的条件下，延长FA，BC相交于点G，若tan∠DAF=$\frac{1}{2}$，EH=2$\sqrt{6}$，求线段CG的长．

Answer 1

分析 （1）连接AO，如图1，由OA=OB可得∠OAB=∠OBA，要证∠DAF=∠ABO，只需证∠DAF=∠BAO，只需证∠FAO=∠DAB=90°即可；
（2）由于BC=2OA，要证BC=2AF，只需证OA=AF，只需证△AFD≌△AOB即可；
（3）过点A作AN⊥BC于N，连接OH，OA，如图2，易得BE=2IE，DE=2EC，DI=2AF=BC，从而可得EC=3IE=$\frac{3}{2}$BE．设BE=2x，则有EC=3x，BC=5x，HO=BO=$\frac{5x}{2}$，EO=$\frac{x}{2}$．在Rt△HEO中运用勾股定理可求出x．利用三角函数可得BN=2AN=4NC，则有BC=5NC=10，从而可求出NC、ON，易证△AON∽△GOA，根据相似三角形的性质可求出OG，从而可求出CG．

解答 解：（1）连接AO，如图1．
∵AF与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AF，即∠FAO=90°．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠DAB=90°，
∴∠FAO=∠DAB=90°，
∴∠DAF=∠BAO．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠DAF=∠ABO；

（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∴∠DIB=90°+∠ABO．
∵∠DIB=90°+∠D，
∴∠D=∠ABO．
在△AFD和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠BAO}\\{AD=AB}\\{∠D=∠ABO}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△AOB，
∴AF=AO，
∴BC=2OA=2AF；

（3）过点A作AN⊥BC于N，连接OH，OA，如图2．
∵∠D=∠B=∠BAO=∠DAF，tan∠DAF=$\frac{1}{2}$，
∴tanB=$\frac{IE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，tanD=$\frac{EC}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2IE，DE=2EC．
又∵∠DIA+∠D=∠DAF+∠FAI=90°，
∴∠FIA=∠FAI，
∴FI=FA，
∴DI=2AF=BC，
∴DE-IE=BE+EC，
∴2EC-IE=2IE+EC，
∴EC=3IE=$\frac{3}{2}$BE．
设BE=2x，则有EC=3x，BC=5x，HO=BO=$\frac{5x}{2}$，EO=$\frac{x}{2}$．
在Rt△HEO中，根据勾股定理可得
（$\frac{x}{2}$）2+（2$\sqrt{6}$）²=（$\frac{5x}{2}$）²，
解得x=2（舍负）．
∵AN⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠ABC，
∴tan∠NAC=$\frac{NC}{AN}$=$\frac{1}{2}$，tan∠ABC=$\frac{AN}{BN}$=$\frac{1}{2}$，
∴BN=2AN=4NC，
∴BC=5NC=10，
∴NC=2，ON=5-2=3．
∵∠AON=∠GOA，∠ANO=∠OAG=90°，
∴△AON∽△GOA，
∴$\frac{OA}{OG}$=$\frac{ON}{OA}$，
∴$\frac{5}{OG}$=$\frac{3}{5}$，
∴OG=$\frac{25}{3}$，
∴CG=OG-OC=$\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，用含有x的代数式表示出OE、OH，并在Rt△HEO中运用勾股定理是解决第（3）小题的关键．