Question

10．如图，点O是等边△ABC内一点．∠COB=140°，∠AOB=α，将△COB绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α=110°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明△COD是等边三角形，可证三边相等或两个内角为60°或者一个内角为60°的等腰三角形，这里根据旋转的性质得到CO=CD、∠OCD=60°，即可得证；
（2）判断△AOD的形状一般从角或边上着手，这里根据∠COD=60°、∠AOB=110°、∠BOC=140°得∠AOD=50°，在四边形AOCD中根据∠ADC=140°、∠COD=60°、∠AOC=110°得∠OAD=50°，从而得证．

解答 （1）证明：∵△ADC是由△COB绕点C按顺时针方向旋转60°得到，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；
（2）△AOD是等腰三角形，
解：∵△COD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
又∵∠AOB=110°，∠BOC=140°，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=50°，∠AOC=∠AOD+∠COD=110°，
∵由旋转性质知，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°
∴∠ADC=∠BOC=140°，
∴在四边形AOCD中，∠OAD=360°-∠AOC-∠OCD-∠ADC=50°，
∴∠AOD=∠OAD，
故△AOD是等腰三角形．

点评 本题主要考查旋转的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉旋转的性质是解题的关键．