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已知:如图,⊙O的内接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=15°,ADOC并交BC的延长线于D,OC交AB于E.
(1)求∠D的度数;
(2)求证:AC2=AD•CE;
(3)求
BC
CD
的值.
(1)如图,连接OB(1分)
∵⊙O的内接△ABC中,∠BAC=45°,
∴∠BOC=2∠BAC=90°
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵ADOC,
∴∠D=∠OCB=45°(2分)

(2)证明:∵∠BAC=45°,∠D=45°,
∴∠BAC=∠D(3分)
∵ADOC,
∴∠ACE=∠DAC(4分)
∴△ACE△DAC
AC
DA
=
CE
AC

∴AC2=AD•CE(5分)

(3)方法一:如图,延长BO交DA的延长线于F,连接OA
∵ADOC,
∴∠F=∠BOC=90°
∵∠ABC=15°,
∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=30°
∵OA=OB,
∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°,∠OAF=30°、
∴OF=
1
2
OA
∵ADOC,
∴△BOC△BFD
BC
BD
=
BO
BF


BC
CD
=
BO
OF
=
OA
OF
=2,即
BC
CD
的值为2(7分)
方法二:作OM⊥BA于M,设⊙O的半径为r,可得BM=
3
2
r
,OM=
r
2
,∠MOE=30°,
ME=OM•tan30°=
3
6
r
,BE=
2
3
3
r
,AE=
3
3
r
,所以
BC
CD
=
BE
EA
=2
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