在直角梯形ABCD中.∠ABC=90°.AD=4.CD=10.BC=12.⊙C的半径是4．E点以每秒3个单位的速度沿着D→C→B→A运动．在E点运动的同时.以E点为圆心.⊙E的半径以每秒1个单位的速度逐渐增大(当E点在初始位置D点时.⊙E的半径为0)．当E点运动到A点时.整个运动全部停止．设运动的时间为t秒．(1)当E点在CD边上运动时.当t为何� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD=4，CD=10，BC=12，⊙C的半径是4．E点以每秒3个单位的速度沿着D→C→B→A运动．在E点运动的同时，以E点为圆心，⊙E的半径以每秒1个单位的速度逐渐增大（当E点在初始位置D点时，⊙E的半径为0）．当E点运动到A点时，整个运动全部停止．设运动的时间为t秒．
（1）当E点在CD边上运动时，当t为何值时，⊙E与⊙C相切？
（2）在整个运动过程中，当t为何值时，⊙E与⊙C最后一次相切？
（3）在整个运动过程中，⊙E与⊙C共有多少次相切？t的值分别为多少？

分析（1）当E在CD边上运动，分别利用当⊙C与⊙E外切时，当⊙C与⊙E内切时求出即可；
（2）当⊙C与⊙E最后一次相切时，E点在AB上（$\frac{22}{3}＜t＜\frac{28}{3}$），进而利用勾股定理求出即可；
（3）利用（1）（2）中所求以及利用当⊙E在BC上时利用内切和外切分别求出即可．

解答解：（1）当E在CD边上运动时，（$0＜t＜\frac{10}{3}$），
如图1，当⊙C与⊙E外切时，3t+t+4=10，解得：t=1.5，
如图2，当⊙C与⊙E内切时，3t-t+4=10，解得：t=3
答：当E点在CD上运动时，t=1.5或3秒；

（2）如图3，过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠ABC=90°，AD=4，CD=10，BC=12，∴AB=6，
当⊙C与⊙E最后一次相切时，E点在AB上（$\frac{22}{3}＜t＜\frac{28}{3}$），
BE=3t-22，BC=12，CE=t+4，
则（t+4）²=12²+（3t-22）²，
解得：t₁=9，t₂=8.5，
答：当t=9时，两圆最后一次相切；

（3）由（1）（2）可得：t=1.5，t=3，t=8.5，t=9，⊙E与⊙C相切，
当⊙E在BC上时，当⊙E与⊙O内切时，4-t=3t-10，解得：t=3.5，
当⊙E在BC上时，当⊙E与⊙O外切时，t+4=3t-10，解得：t=7，
综上所述：⊙E与⊙C共有6次相切，t的值分别为：t=1.5，t=3，t=8.5，t=9，t=3.5，t=7．

点评此题主要考查了圆的综合以及相切两圆的性质、勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．

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