Question

15．如图，x轴上两个点A（-4，0），B（2，0），直线l经过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

Answer 1

分析 本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解．

解答 解：以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N．
∵A（-4，0），B（2，0），∴F（-1，0），⊙F半径FM=FB=3．
又FE=5，则在Rt△MEF中，
ME=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，sin∠MFE=$\frac{4}{5}$，cos∠MFE=$\frac{3}{5}$．
在Rt△FMN中，MN=MF•sin∠MFE=3×$\frac{4}{5}$=12$\frac{12}{5}$，
FN=MF•cos∠MFE=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，则ON=$\frac{4}{5}$，
∴M点坐标为（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）
直线l过M（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），E（4，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{5}k+b=\frac{12}{5}}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以直线l的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3．
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3．
综上所述，直线l的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3或y=$\frac{3}{4}$x-3

点评 本题是一次函数的综合题，考查了切线的性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式等，理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义是解题的关键．