Question

2．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD．

解答 解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8，
∴CG=DG=$\frac{1}{2}$×8=4，
在△DEG和△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠DCF=90°}\\{CG=DG}\\{∠DGE=∠CGF}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=x，
则BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在Rt△DEG中，EG=$\sqrt{D{E}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
∴EF=2$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=2$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
解得x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7．
故选A．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键