Question

10．如图所示，四边形ABCD是边长为6的正方形，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P与点A、C不重合），矩形PEBF的顶点E、F分别在BC、AB上．
（1）先猜想线段OE与OF的数量和位置关系，再给出证明；
（2）在点P的运动过程中，线段EF是否存在最小值？若存在．求出该最小值；若不存请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由正方形的性质得出OA=OB，∠AOB=90°，∠OAF=∠OBE=45°，从而判断出AF=EB，即可得出△AOF≌△BOE即可；
（2）由矩形的性质得出EF=BP，再同点到直线的距离垂线段最短，即可得出点P和点O重合时，BP最小，和OB相等，利用正方形的性质求出OB，即可得出EF的最小值．

解答 解：（1）OE=OF，OE⊥OF；
理由如下：如图，

连接OB，
∵点O是正方形ABCD的对角线AC的中点，
∴OA=OB，∠AOB=90°，∠OAF=∠OBE=45°，
∵四边形PEBF是矩形，
∴PF=EB，∠AFP=90°，
∴AF=PF，
∴AF=EB，
在△AOF和△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=BE}\\{∠OAF=∠OBE}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△BOE，
∴OF=OE，∠AOF=∠BOE，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=∠AOF+∠BOF=∠AOB=90°，
∴OE⊥OF，
即：OE=OF，OE⊥OF；
（2）在点P的运动过程中，线段EF存在最小值；
理由：如图2，

连接OB，BP，
∵四边形PEBF是矩形，
∴BP=EF，
要使EF最小，即BP最小，
∴BP⊥AC时，BP最小，
即：点P和点O重合，
∴BP的最小值=OB，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴OB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
即：EF的最小值为3$\sqrt{2}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，点到直线的距离中，垂线段最短，解本题的关键（1）判断出△AOF≌△BOE，（2）判断出EF的最小值就是OB的长．是一道中等难度的中考常考题．