Question

5．如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证：
（1）AM=$\frac{1}{2}$EG；
（2）AH⊥EG；
（3）EG²+BC²=2（AB²+AC²）．

Answer 1

分析 （1）延长AM到点N，使MN=MA，连接BN，先证得△MBN≌△MCA，得到∠BNM=∠CAM，NB=AC，从而得到BN∥AC，NB=AG，进一步得到∠NBA=∠GAE，根据SAS证得△NBA≌△GAE，即可证得结论；
（2）由△NBA≌△GAE得∠BAN=∠AEG，进一步求得∠HAE+∠AEH=90°，即可证得∠AHE=90°，
得到AH⊥EG；
（3）作AT⊥BC于T，则BM=BT+TM，CM=CT-TM，根据勾股定理得到AB²=BT²+AT²，AC²=CT²+AT²，AT²=AM²-TM²，从而得到AB²=AM²+BM（BT-TM）①，AC²=AM²+CM（CT+TM）②，①+②得：AB²+AC²=2AM²+BM（BT-TM）+CM（CT+TM），由BM=CM，从而得到AB²+AC²=2AM²+BM（BT-TM+CT+TM）=2AM²+BM（BT+CT）=2AM²+BM•BC，即可证得结论．

解答 （1）证明：延长AM到点N，使MN=MA，连接BN，
∵AM是△ABC中BC边上的中线，
∴CM=BM，
在△MBN和△MCA中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=MN}\\{∠AMC=∠NMB}\\{CM=BM}\end{array}\right.$
∴△MBN≌△MCA（SAS），
∴∠BNM=∠CAM，NB=AC，
∴BN∥AC，NB=AG，
∴∠NBA+∠BAC=180°，
∵∠GAE+∠BAC=360°-90°-90°=180°，
∴∠NBA=∠GAE，
在△NBA和△GAE中
$\left\{\begin{array}{l}{NB=AG}\\{∠NBA=∠GAE}\\{BA=EA}\end{array}\right.$
∴△NBA≌△GAE（SAS），
∴AN=EG，
∴AM=$\frac{1}{2}$EG；
（2）证明：由（1）△NBA≌△GAE得∠BAN=∠AEG，
∵∠HAE+∠BAN=180°-90°=90°，
∴∠HAE+∠AEH=90°，
∴∠AHE=90°，
即AH⊥EG；
（3）证明：作AT⊥BC于T，则BM=BT+TM，CM=CT-TM．
在Rt△ABT中，AB²=BT²+AT²，
在Rt△ACT中，AC²=CT²+AT²，
在Rt△ATM中，AT²=AM²-TM²，
∴AB²=BT²+AM²-TM²，
=AM²+BT²-TM²
=AM²+（BT+TM）（BT-TM）
=AM²+BM（BT-TM）①
AC²=CT²+AM²-TM²
=AM²+CT²-TM²
=AM²+（CT+TM）（CT-TM）
=AM²+CM（CT+TM）②
①+②得：AB²+AC²=2AM²+BM（BT-TM）+CM（CT+TM），
∵BM=CM，
∴AB²+AC²=2AM²+BM（BT-TM+CT+TM）
=2AM²+BM（BT+CT）
=2AM²+BM•BC
由（1）可知AM=$\frac{1}{2}$EG，
∵BM=$\frac{1}{2}$BC，
∴AB²+AC²=2（$\frac{1}{2}$EG）²+$\frac{1}{2}$BC•BC，
∴EG²+BC²=2（AB²+AC²）．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．