Question

【题目】如图1，一根木棒AB，斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，当木棒A端沿NO向下滑动时，同时B端沿射线OM向右滑动，实践发现木棒的中点P运动的路径是一个优美的几何图形，我们把这样的点叫优美点．如果木棒AB长为4，与地面的倾斜角∠ABO＝60°．

（1）当木棒A端沿NO向下滑动到点O时，同时B端沿射线OM向右滑动到B′时，木棒的中点P所经过的路径长为多少？

（2）若点P为OB上由点O向点B运动的一运动点，连接AP．

①如图2，设AP的中点为G，问点G是不是优美点，如是，请求出点P运动过程中G所经过的路径长．

②如图3，过点B作BR⊥AP，垂足为点R．点P运动过程中，点R是不是优美点，如是，请求出点R所经过的路径长．

（3）如图4，若点P以每秒1个单位长度由点B向点O运动，同时点Q以每秒个单位长度的速度由点A向点O运动，连接PQ，S为PQ的中点，则在PQ的运动过程中，点S经过的路径长为多少？（直接写结果）

Answer 1

【答案】（1）π；（2）①1，②π；（3）2

【解析】

（1）由题意OP＝AB＝2，推出点P的运动轨迹是，利用弧长公式求解即可．

（2）①如图2中，取AO，AB的中点E，F，连接EF．点G是优美点，点P运动轨迹是△AOB的中位线EF．

②如图3中，点R是优美点，点R的运动轨迹是，圆心是AB的中点K，连接OK．

（3）首先证明PQ∥AB，推出PQ的中点S的运动轨迹是Rt△AOB的斜边AB上的中线OK．

解：（1）连接OP．

在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝4，PA＝PB，

∴OP＝AB＝2，

∵OP＝PB＝2，∠ABO＝60°，

∴△OPB是等边三角形，

∴∠POB＝60°，

由题意点P的运动路径是，

∴点P的运动路径的长＝＝π．

（2）①如图2中，取AO，AB的中点E，F，连接EF．

点G是优美点，点P运动轨迹是△AOB的中位线EF．

∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，

∴OB＝AB＝2，

∵AE＝EO，AF＝FB，

∴EF＝OB＝1，

∴点P运动过程中G所经过的路径长为1．

②如图3中，点R是优美点，

∵AR⊥BR，

∴∠ARB＝90°，

∴点R在AB为直径的圆上，点R的运动轨迹是，圆心是AB的中点K，连接OK．

∴点R所经过的路径长＝＝π．

（3）

∵OA＝，OB＝2，AQ＝t，BP＝t，

∴

∴PQ∥AB，

∴PQ的中点S的运动轨迹是Rt△AOB的斜边AB上的中线OK，

∴点S经过的路径长为AB＝2．