Question

6．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，且∠APB=150°，则点P到P′之间的距离为6，PC=10．

Answer 1

分析 根据旋转的性质推知△APP′是等边三角形，则PP′=PA=6，根据∠APB=150°得∠BPP'=90°，在RT△BPP'中根据勾股定理可得BP'=PC=10．

解答 解：连接PP'，

∵△ABC是正三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵由旋转可知：△P'AB≌△PAC，
∴∠CAP=∠BAP'，AP=AP'=6．
∴∠CAP+∠BAP=∠BAP′+∠BAP=∠BAC=60°，即∠PAP′=60°，
∴△P'AP是等边三角形，
∴AP=AP'=PP'=6，∠APP'=60°，
∵∠APB=150°，
∴∠BPP'=90°，
在RT△BPP'中，∵BP'²=BP²+PP'²，
∴BP'=PC=$\sqrt{B{P}^{2}+PP{'}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
故答案为：6，10．

点评 本题考查旋转的性质和勾股定理．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．