Question

6．如图，在△ABC中，点E在AC上，点G在BC上，连接EG，AE=EG=5，过点E作ED⊥AB，垂足为D，过点G作GF⊥AC，垂足为F，此时恰有DE=GF=4．若BG=2$\sqrt{5}$，则sinB的值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{10}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 首先证明Rt△ADE≌Rt△EFG，推出∠DEG为直角；然后过点G作GH⊥AB于点H，则四边形DEGH为矩形；最后在Rt△BGH中，利用三角函数定义求出sinB的值．

解答 解：在Rt△ADE与Rt△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}AE=EG\\ DE=GF\end{array}\right.$
∴Rt△ADE≌Rt△EFG（HL）．
∴∠A=∠GEF．
∵∠A+∠AED=90°，
∴∠GEF+∠AED=90°，
∴∠DEG=90°．
如右图，过点G作GH⊥AB于点H，则四边形DEGH为矩形，
∴GH=DE=4．
在Rt△BGH中，sinB=$\frac{GH}{BG}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故选C．

点评 本题是几何综合题，考查了全等三角形、矩形的判定与性质，三角函数的定义．注意辅助线的作法．