Question

20．试求下列各式的最小值：
（1）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|；
（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1000|．

Answer 1

分析 （1）把x看为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-1997|表示：点x到数轴上的1997个点（1、2、3、…、1997）的距离之和，由于原式的绝对值共有1997项，最中间的那一项是|x-999|，所以只需取x=999，它们的和就可以获得最小值；
（2）同（1）可知，由于原式的绝对值共有1000项，当点在x在500与501之间时，算式|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1000|的值最小，据此求出最小值是多少即可．

解答 解：（1）由于原式的绝对值共有1997项，最中间的那一项是|x-999|，所以只需取x=999，它们的和就可以获得最小值，原式可以展开为：
|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1997|，
=|999-1|+|999-2|+…+|999-998|+|999-999|+|999-1000|+…+|999-1997|
=998+997+…+1+0+1+…+998
=2×（1+2+3+…+998）
=2×998×999×$\frac{1}{2}$
=998×999
=997002；
（2）由于原式的绝对值共有1000项，最中间的那两项是|x-500|和|x-501|，所以只需取x=500.5，它们的和就可以获得最小值，原式可以展开为：
|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-1000|，
=|500.5-1|+|500.5-2|+…+|500.5-998|+|500.5-999|+|500.5-1000|
=499.5+498.5+…+0.5+0.5+…+498.5+499.5
=2×（0.5+1.5+…+498.5+499.5）
=2×500×500×$\frac{1}{2}$
=250000．

点评 此题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，解答此题的关键是要明确：某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小．