【题目】已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC、BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F.
(1)如图1,当P点在线段AB上时,PE+PF的值是否为定值?如果是,请求出它的值;如果不是,请加以说明.
(2)如图2,当P点在线段AB的延长线上时,求PE﹣PF的值.
【答案】解:(1)是定值,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD,
∴PF∥AC,
同理PE∥BD.
∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.
又∵∠PBF=45°,
∴PF=BF.
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a.
(2)∵四边形ABCD为正方形,
∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD,
∴PF∥AC,
同理PE∥BD.
∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.
又∵∠PBF=45°,
∴PF=BF.
∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a.
【解析】(1)因为ABCD是正方形,所以对角线互相垂直,又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F,所以可证明四边形PFOE是矩形,从而求出解.
(2)因为四边形ABCD是正方形,所以对角线互相垂直,又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F,所以可证明四边形PFOE是矩形,从而求出解.
【考点精析】掌握正方形的性质是解答本题的根本,需要知道正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
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【题目】某班在一次班会课上,就“遇见路人摔倒后如何处理”的主题进行讨论,并对全班50名学生的处理方式进行统计,得出相关统计表和统计图,请根据统计表图所提供的信息回答下列问题:
(1)统计表中的m=______________,n=_________________;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若该校共有2000名学生,请据此估计该校学生采取“马上救助”方式的学生有多少人?
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【题目】如图,已知在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,给出下列结论:
①BE=DF;②∠DAF=15°;③AC垂直平分EF;④BE+DF=EF.
其中结论正确的共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】已知点A(a,1)与点A′(5,b)关于y轴对称,则实数a、b的值是( )
A.a=5,b=1B.a=﹣5,b=1C.a=5,b=﹣1D.a=﹣5,b=﹣1
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【题目】化简求值:(1)(3a2-8a)+(2a2-13a2+2a)-2(a3-3),其中a=-2;
(2)3x2y-+3xy2,其中x=3,y=-.
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【题目】若代数式(4x2-mx-3y+4)-(8nx2-x+2y-3)的值与字母x的取值无关,求代数式(-m2+2mn-n2)-2(mn-3m2)+3(2n2-mn)的值.
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【题目】(1)阅读下面材料:
点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|.
当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图(1),|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|;当A,B两点都不在原点时,
①如图(2),点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|;
②如图(3),点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=|a﹣b|;
③如图(4),点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a﹣b|;
综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|.
(2)回答下列问题:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ;
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ,如果|AB|=2,那么x为 ;
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是 .
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5.
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【题目】数a,b在数轴上对应的A,B两点之间距离.
探究运用
①数轴上表示1和3两点之间的距离是_____;数轴上表示x和2两点之间的距离是_____.
②根据图像比较大小: ______(填“<”、“=”、“>”).
拓展延伸
③若点A.B、C在数轴上分别表示数-1、4、c,且点C到点A.B的距离之和是7,则c=_____.
④关于x的方程(m>n,k>0),借助数轴探究方程的解的情况,直接写出结论.
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