Question

9．如图，在△ABC中．∠A=30°，AC=8，BC=5．以直线AB为轴，将△ABC旋转一周得到一个旋转体，求这个旋转体的全面积．

Answer 1

分析 以直线AB为轴旋转一周，得到一个由两个底面相同的圆锥组成的几何体，作CD⊥AB，则CD为几何体的底面圆的半径，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系计算出CD=4，利用勾股定理求得BD=3，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算两个圆锥的侧面积的和即可．

解答 解：作CD⊥AB，则CD为几何体的底面圆的半径，如图，

在Rt△ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=3，
∴以AC为母线的圆锥的侧面积=$\frac{1}{2}$×2π×4×8=32π；
以BC为母线的圆锥的侧面积=$\frac{1}{2}$×2π×4×5=20π，
∴这个几何体的全面积=32π+20π=52π．

点评 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．