Question

6．如图，在正方形ABCD中，E为直线AB上的动点（不与A，B重合），作射线DE并绕点D逆时针旋转45°，交直线BC边于点F，连结EF．
探究：当点E在边AB上，求证：EF=AE+CF．
应用：（1）当点E在边AB上，且AD=2时，则△BEF的周长是4．
（2）当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是EF=CF-AE或EF=AE-CF．

Answer 1

分析 探究：作辅助线，构建全等三角形，证明△DAG≌△DCF（SAS），得∠1=∠3，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），根据EG的长可得结论；
应用：
（1）利用探究的结论计算三角形周长为4；
（2）分两种情况：①点E在BA的延长线上时，如图2，EF=CF-AE，②当点E在AB的延长线上时，如图3，
EF=AE-CF，两种情况都是作辅助线，构建全等三角形，证明两三角形全等得线段相等，根据线段的和与差得出结论．

解答 探究：证明：如图，延长BA到G，使AG=CF，连接DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠DAG=∠DCF=90°，
∴△DAG≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠3，DG=DF，
∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，
∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°=∠EDF，
∵DE=DE，
∴△GDE≌△FDE（SAS），
∴EF=EG=AE+AG=AE+CF；
应用：
解：（1）△BEF的周长=BE+BF+EF，
由探究得：EF=AE+CF，
∴△BEF的周长=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4，
故答案为：4；
（2）当点E不在边AB上时，分两种情况：
①点E在BA的延长线上时，如图2，
EF=CF-AE，理由是：
在CB上取CG=AE，连接DG，
∵∠DAE=∠DCG=90°，AD=DC，
∴△DAE≌△DCG（SAS）
∴DE=DG，∠EDA=∠GDC
∵∠ADC=90°，
∴∠EDG=90°
∴∠EDF+∠FDG=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDG=90°-45°=45°，
∴∠EDF=∠FDG=45°，
在△EDF和△GDF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠EDF=∠GDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=CF-CG=CF-AE；
②当点E在AB的延长线上时，如图3，
EF=AE-CF，理由是：
把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，可使AD与DC重合，连接DG，
由旋转得：DE=DG，∠EDG=90°，AE=CG，
∵∠EDF=45°，
∴∠GDF=90°-45°=45°，
∴∠EDF=∠GDF，
∵DF=DF，
∴△EDF≌△GDF，
∴EF=GF，
∴EF=CG-CF=AE-CF；
综上所述，当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是：EF=CF-AE或EF=AE-CF；
故答案为：EF=CF-AE或EF=AE-CF．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类题的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题．