Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=120°，∠BOC=α，△OCD也是等边三角形．
（1）请说明△BOC≌△ADC；
（2）当α=120°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是直角三角形？

Answer 1

解：（1）∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°，BC=AC，CO=CD，∠ACB=∠DCO=60°，
∴∠ACB-∠ACO=∠DCO-∠ACO，
∴∠ACD=∠BCO，
在△BOC和△ADC中
，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；

（2）△AOD的形状是等边三角形
理由是：∵△BOC≌△ADC，∠BOC=α=120°，
∴∠ADC=∠BOC=120°，∠AOC=360°-120°-120°=120°，
∵∠ODC=∠DOC=60°，
∴∠ADO=∠AOD=60°，
∴AD=AO，
∴△AOD的形状是等边三角形；

（3）分为三种情况：①当∠ADO=90°时，α=150°，
理由是：∵∠BOC=∠ADC=α=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形；
②当∠AOD=90°时，α=90°，
理由是：∵∠AOC=360°-∠AOB-α=360°-90°-120°=150°，
∵∠DOC=60°，
∴∠AOD=90°，
∴△AOD是直角三角形；
③当∠OAD=90°时，∵△BOC≌△ADC，
∴∠CBO=∠DAC，
∵∠AOB=120°，
∴∠OAB+∠OBA=60°，
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=60°，
∴∠OAC=∠OBA，
∴∠DAO=∠OBA+∠OBC=∠ABC=60°，即∠OAD=90°此种情况不存在；
综合上述，当α等于150°或90°时，△AOD是直角三角形．
分析：（1）根据等边三角形性质得出∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°，BC=AC，CO=CD，∠ACB=∠DCO=60°，求出∠ACD=∠BCO，根据SAS证出粮三角形全等即可；
（2）根据全等得出∠ADC=∠BOC=120°，求出∠AOC=120°，求出∠ADO=∠AOD=60°，根据等边三角形的判定推出即可；
（3）分为三种情况：：①当∠ADO=90°时，α=150°，根据∠BOC=∠ADC=α=150°和∠ODC=60°求出∠ADO=90°即可；②当∠AOD=90°时，α=90°，求出∠AOC=150°，求出∠AOD=90°即可；③当∠OAD=90°时，求出∠DAO=∠ABC=60°不能等于90°此种情况不存在．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用．