Question

3．如图，RA⊥AB，QB⊥AB，P是AB上的一点，RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RPA=75°，∠QPB=45°，求AB的长度．

Answer 1

分析 首先过点Q作QC⊥AR交于点C，由RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RPA=75°，∠QPB=45°，可得△PQR是等边三角形，即RP=PQ=RQ=a；然后设AB长为x，在Rt△ARP、Rt△PBQ、Rt△RCQ中，RQ²=RC²+CQ²，RP²=RA²+AP²，QP²=QB²+PB²，可得a²=（h-k）²+x²，①a²=h²+（x-k）²，②继而求得答案．

解答 解：过Q作QC⊥AR交于点C，
∵∠A=∠B=90°，∠RPA=75°，∠QPB=45°，
∴∠RPQ=60°，QB=PB=k，
又∵RP=PQ=a，
∴△PQR是等边三角形，即RP=PQ=RQ=a；
设AB长为x，在Rt△ARP、Rt△PBQ、Rt△RCQ中，
RQ²=RC²+CQ²，RP²=RA²+AP²，QP²=QB²+PB²，
即a²=（h-k）²+x²，①
a²=h²+（x-k）²，②
由①②可解得2kx=2kh，
即x=h．
∴AB=h．

点评 此题考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意利用方程思想求解．