Question

如图，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线y=ax²+bx上，且y=ax²+bx的最大值是2，y=ax²+bx与x轴的正半轴的交点E的坐标是（2，0）．
（1）求a，b的值；
（2）若矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与x轴围成的封闭区域内，试探索：是否存在周长为3的矩形？若存在，求出此时B点的坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意得：抛物线y=ax²+bx过点（2，0），（1，2），
∴，
解得：；

（2）由（1）得：抛物线的解析式为：y=-2x²+4x，
设点A（m，n），则BC=2-2m，BA=-2m²+4m，
∴矩形的周长为：2（AB+BC）=2（2-2m-2m²+4m）=-4m²+4m+4，
若存在周长为3的矩形ABCD，则：
-4m²+4m+4=3，
即-4m²+4m+1=0，
解得：m=，
∵m=＜0不符合题意，舍去，
∴m=，
∴存在周长为3的矩形，此时B点的坐标为：（，0）．
分析：（1）根据题意得：抛物线y=ax²+bx过点（2，0），（1，2），则可得方程组：，解此方程组即可求得答案；
（2）首先由（1）可得抛物线的解析式，然后设点A（m，n），则BC=2-2m，BA=-2m²+4m，即可得矩形的周长为：2（AB+BC）=2（2-2m-2m²+4m）=-4m²+4m+4，则可得方程：-4m²+4m+4=3，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的解法．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．