Question

附加题．已知函数y=x+2的图象与x、y轴分别交于点A、B，问：在x轴上是否存在这样的点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

解：存在点P使得△ABP为等腰三角形，点P在AB的垂直平分线与x轴的交点上；
如图所示：
∵函数y=x+2的图象与x、y轴分别交于点A、B，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴AO=2，BO=2，
设OP=x，
∵点P在AB的垂直平分线与x轴的交点上
∴AP=BP=2-x，
在Rt△POB中，BO²+PO²=BP²，
2²+x²=（2-x）²，
解得：x=，
∴P（-，0）．
当以A为圆心AB长为半径画圆，
∵AO=2，BO=2，
∴AB==4，
则P₁（4-2，0），P₂（-4-2，0），
当以B为圆心AB长为半径画圆，
P₃（2，0）．
综上所述：P点坐标为：（-，0），P₁（4-2，0），P₂（-4-2，0），P₃（2，0）．
分析：存在点P使得△ABP为等腰三角形，点P在AB的垂直平分线与x轴的交点上，根据线段垂直平分线的性质可得AP=BP，根据函数关系式算出一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标，可得AO=2，BO=2，设OP=x，则AP=BP=2-x，在Rt△POB中运用勾股定理可计算出P点坐标，再分别以A、B为圆心AB长为半径画圆，与x轴交点也是所求的P点．
点评：此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，以及等腰三角形的性质，勾股定理的应用，关键是根据等腰三角形的性质判断出P点在AB的垂直平分线与x轴的交点上．