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附加题.已知函数y=
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x+2的图象与x、y轴分别交于点A、B,问:在x轴上是否存在这样的点P,使得△ABP为等腰三角形?若存在,求点P的坐标;否则,请说明理由.
分析:存在点P使得△ABP为等腰三角形,点P在AB的垂直平分线与x轴的交点上,根据线段垂直平分线的性质可得AP=BP,根据函数关系式算出一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标,可得AO=2
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,BO=2,设OP=x,则AP=BP=2
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-x,在Rt△POB中运用勾股定理可计算出P点坐标,再分别以A、B为圆心AB长为半径画圆,与x轴交点也是所求的P点.
解答:解:存在点P使得△ABP为等腰三角形,点P在AB的垂直平分线与x轴的交点上;
如图所示:
∵函数y=
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x+2的图象与x、y轴分别交于点A、B,
∴A(-2
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,0),B(0,2),
∴AO=2
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,BO=2,
设OP=x,
∵点P在AB的垂直平分线与x轴的交点上
∴AP=BP=2
3
-x,
在Rt△POB中,BO2+PO2=BP2
22+x2=(2
3
-x)2
解得:x=
2
3
3

∴P(-
2
3
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,0).
当以A为圆心AB长为半径画圆,
∵AO=2
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,BO=2,
∴AB=
(2
3
)2+22
=4,
则P1(4-2
3
,0),P2(-4-2
3
,0),
当以B为圆心AB长为半径画圆,
P3(2
3
,0).
综上所述:P点坐标为:(-
2
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,0),P1(4-2
3
,0),P2(-4-2
3
,0),P3(2
3
,0).
点评:此题主要考查了一次函数与坐标轴的交点,以及等腰三角形的性质,勾股定理的应用,关键是根据等腰三角形的性质判断出P点在AB的垂直平分线与x轴的交点上.
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