Question

如图1，矩形纸片ABCD中，AB=2

3

，BC=6，将矩形沿对角线AC剪开，解答以下问题：
（1）将△ACD绕点C顺时针旋转60°，△A₁CD₁是旋转后的新位置（图2），
①试判断△ACA₁的形状，并说明理由．
②求A，A₁的距离；
（2）将△ACD沿对角线AC向下翻折（点A、点C位置不动，△ACD和△ABC落在同一平面内），△ACD₂是翻折后的新位置（图3），AD₂交BC于E，求AE的长．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）①根据旋转的性质，可得AC与CA₁的关系，根据等边三角形的判定，可得答案；
②根据勾股定理，可得AC的长度，根据等边三角形的性质，可得答案；
（2）根据翻折得到的图形与原图形相似，可得△AD₂C与△ADC的关系，根据相似三角形的性质，可得D₂C与AB的关系，根据全等三角形的判定，可得AE与CE的关系，根据勾股定理，可得AE的长．

解答：解：（1）①△ACA₁是等边三角形，理由如下
∵将△ACD绕点C顺时针旋转60°，△A₁CD₁是旋转后的新位置，
∴AC=CA₁，∠ACA₁=60°，
∴△ACA₁是等边三角形；
②在△ABC中，由勾股定理，得
AC=

AB2+BC2

=4

3

，
∵△ACA₁是等边三角形，
∴AA₁=4

3

；
（2）如图3：
，
∵四边形ABCD是矩形纸片，
∴AB=CD．
由翻折，得△AD₂C≌△ADC，
∴D₂C=DC，∠AD₂C=∠ADC=90°，
在△ABE和△CD₂E中，

∠ABE=∠CD2E ∠AEB=∠CED2 AB=CD2

，
∴△ABE≌△CD₂E（AAS），
∴AE=CE．
设AE=CE=x，BE=6-x，AB=2

3

，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AB²+BE²=AE²，
即（2

3

）²+（6-x）²=x²，
解得x=4，
AE=4．

点评：本题考查几何变换综合题，利用了旋转的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，题目较为简单．