Question

11．对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似．

（1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ；其中，互为顺相似的是①②；互为逆相似的是③．（填写所有符合要求的序号）．

（2）如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边AB上（不与点A，B重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，请在备用图中画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据互为顺相似和互为逆相似的定义即可作出判断；
（2）根据点P在△ABC边上的位置分为三种情况，需要分类讨论，逐一分析求解即可．

解答 解：（1）互为顺相似的是 ①②；互为逆相似的是 ③；
故答案为：①②，③；
（2）根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况：
第一种情况：如图①，点P在BC（不含点B、C）上，过点P只能画出2条截线PQ₁、PQ₂，分别使∠CPQ₁=∠A，∠BPQ₂=∠A，此时△PQ₁C、△PBQ₂都与△ABC互为逆相似．
第二种情况：如图②，点P在AC（不含点A、C）上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M．
当点P在AM（不含点M）上时，过点P₁只能画出1条截线P₁Q，使∠AP₁Q=∠ABC，此时△AP₁Q与△ABC互为逆相似；
当点P在CM上时，过点P₂只能画出2条截线P₂Q₁、P₂Q₂，分别使∠AP₂Q₁=∠ABC，∠CP₂Q₂=∠ABC，此时△AP₂Q₁、△Q₂P₂C都与△ABC互为逆相似．
第三种情况：如图③，点P在AB（不含点A、B）上，过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AB于点D、E．
当点P在AD（不含点D）上时，过点P只能画出1条截线P₁Q，使∠AP₁Q=∠ACB，此时△AQP₁与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P₂只能画出2条截线P₂Q₁、P₂Q₂，分别使∠AP₂Q₁=∠ACB，∠BP₂Q₂=∠BCA，此时△AQ₁P₂、△Q₂BP₂
都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE（不含点E）上时，过点P₃只能画出1条截线P₃Q′，使∠BP₃Q′=∠BCA，此时△Q′BP₃与△ABC互为逆相似．

点评 本题是创新型中考压轴题，主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中“顺相似”“逆相似”的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．