Question

13．如图，边长为4正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接线段EC交BD于点F，点M是线段CE延长线上的一点，且∠MAF为直角，则DM的长为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 作MN⊥AD，先证明MA=ME，进而求出AN=NE=1，利用MN∥CD得$\frac{MN}{CD}=\frac{NE}{ED}$求出MN，在RT△MND中利用勾股定理即可求出DM．

解答 解：作MN⊥AD垂足为N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠CBF，BC∥AD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵BF=BF，
∴△BFA≌△BFC，
∴∠BAF=∠BCF=∠CED=∠AEM，
∵∠MAF=∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠MAE，
∴∠MAE=∠AEM，
∴MA=ME
∵AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴AN=NE=$\frac{1}{2}AE$=1，
∵∠MNE=∠CDE=90°，
∴MN∥CD，
∴$\frac{NE}{ED}=\frac{MN}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∵CD=4，
∴MN=2，
在RT△MND中，∵MN=2，DN=3，
∴DM=$\sqrt{D{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故答案为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行成比例的性质、勾股定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．