Question

6．如图，ABCD是正方形，F是CD的中点，E是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABE与△ECF相似的是（　　）

• A． ∠AEB=∠FEC
• B． ∠AEF=90°
• C． E是BC的中点
• D． $BE=\frac{2}{3}BC$

Answer 1

分析 利用两三角形相似的判定定理得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，BC=CD=AB，
∵∠AEB=∠FEC，
∴△ABE∽△FCE，选项A正确；
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECF，选项B正确；
∵BE=$\frac{2}{3}$BC，
∴BE=2CE，
∵F是CD的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AB}{CF}=\frac{BE}{CE}$=2，
∴△ABE∽△FCE，选项D正确；
若E是BC的中点，则BE=CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴△ABE与△ECF不相似，选项C不正确；
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定定理：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．