Question

1．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若OB=5，BC=18，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据AB所对的角是直角，以及等边对等角，证明∠ODC=90°，则可以证得；
（2）在直角△ODC中利用勾股定理求得CD的长，然后根据△ABC∽△ODC，利用相似三角形的对应边相等即可求解．

解答 （1）证明：连接OD．
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
又∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA+∠ODA=90°，即∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）OC=BC-OB=18-5=13，
直角△OCD中，OD=OB=5，
CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∵BE是圆的切线，
∴∠EBC=90°，
同理∠ODC=90°，
∴∠EBC=∠ODC，
又∵∠C=∠C，
∴△EBC∽△ODC，
∴$\frac{BE}{OD}$=$\frac{BC}{CD}$，即$\frac{BE}{5}$=$\frac{18}{12}$，
解得：BE=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，正确证明△ABC∽△ODC是解决本题的关键．