Question

8．如图，在平面直角坐标系中xOy，二次函数y=ax²-2ax+3的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，AB=4，动点P从B点出发，沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线BC，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（t＞0），△BPQ与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△BPQ绕点P逆时针旋转90°，当旋转后的△BPQ与二次函数的图象有公共点时，求t的取值范围（直接写出结果）．

Answer 1

分析 （1）首先根据公式求得函数的对称轴，然后根据AB的长即可求得A和B的坐标，代入解析式即可求得a的值，则函数的解析式即可求得；
（2）分成0＜t≤4，4＜t＜6和t≥6三种情况进行讨论，根据△BPQ是等腰直角三角形，以及三角形的面积公式即可求得；
（3）将△PBQ逆时针旋转90°，则过Q′作Q′D⊥x轴于点D，则△DPQ′是等腰直角三角形，利用t表示出Q′和P′的坐标，代入函数解析式即可确定t的值，则t的范围即可求得．

解答 解：（1）由y=ax²-2ax+3可得抛物线的对称轴为x=1．
∵AB=4，
∴A（-1，0），B（3，0）．
把（-1，0）代入解析式，得a-2a+3=0，
解得：a=-1．
∴函数的解析式是：y=-x²+2x+3；
（2）由题意可知，BP=t，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC．∴∠PBQ=45°．
∵PQ⊥BC，
∴PQ=QB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}t$．
∵C的坐标是（0，3），B的坐标是（0，3），
∴OC=BC，
∴△OBC是等腰直角三角形．
①当0＜t≤4时，P在线段AB上，此时Q在BC上，△PBQ是等腰直角三角形，且△ABC和△BPQ的重合部分就是△BPQ．
在等腰直角△BPQ中，PB=t，则BQ=PQ=PB•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴S=S_△PBQ=$\frac{1}{4}$t²；
②当4＜t＜6时，
设PQ与AC交于点D，作DE⊥AB于点E，则DE=PE．
∵tan∠DAE=$\frac{DE}{AE}=\frac{OC}{OA}$=3．
∴DE=PE=3AE=$\frac{3}{2}PA$．
∵PA=t-4，
∴DE=$\frac{3}{2}（t-4）$．
∴${S_{△PAD}}=\frac{3}{4}{t^2}-6t+12$．
∵S=S_△PBQ-S_△PAD，
∴$S=-\frac{1}{2}{t^2}+6t-12$；
③当t≥6时，S=S_△ABC=6；
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}（0＜t≤4）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+6t-12（4＜t＜6）}\\{6（t≥6）}\end{array}\right.$；
（3）将△PBQ逆时针旋转90°，则过Q′作Q′D⊥x轴于点D，则△DPQ′是等腰直角三角形，如图（3）．
则PQ′=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，DQ′=DP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PQ′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=$\frac{1}{2}$t．
则Q′的坐标是（3-$\frac{3}{2}$t，$\frac{1}{2}$t），B′的坐标是（3-t，t）．
当Q′在函数图象上时，代入解析式得：-（3-$\frac{3}{2}$t）²+2（3-$\frac{3}{2}$t）+3=$\frac{1}{2}$t，
解得：t=$\frac{22}{9}$或0（舍去）．
当B′在函数图象上时，-（3-t）²+2（3-t）+3=t，
解得：t=3．
所以Q′首先与抛物线相交，当t＞4时，P在A的左边，没有交点．
则t的范围是：$\frac{22}{9}$≤t≤4．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，注意到将△PBQ逆时针旋转90°后，过Q′作Q′D⊥x轴于点D，则△DPQ′是等腰直角三角形是解决本题的关键．