Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为（0，－1），该抛物线与交于另一点，连接.

（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为的形式；

（2）若点在上，连接，求的面积；

（3）一动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿平行于轴方向向上运动，连接，，设运动时间为秒（>0），在点的运动过程中，当为何值时，？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）将A，B两点的坐标代入抛物线解析式中，得到关于a，b的方程组，解之求得a，b的值，即得解析式，并化为顶点式即可；

（2）过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，求出直线BC，BE的解析式，继而可以求得G、H点的坐标，进一步求出GH，联立BE与抛物线方程求出点F的坐标，然后根据三角形面积公式求出△FHB的面积；

（3）设点M坐标为（2，m），由题意知△OMB是直角三角形，进而利用勾股定理建立关于m的方程，求出点M的坐标，从而求出MD，最后求出时间t.

（1）∵抛物线与轴交于A（1，0），B(3，0)两点，

∴

∴

∴抛物线解析式为.

（2）如图1，

过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，

由（1）有，C（0，-2），

∵B（3，0），

∴直线BC解析式为y=x-2，

∵H（1，y）在直线BC上，

∴y=-，

∴H（1，-），

∵B（3，0），E（0，-1），

∴直线BE解析式为y=-x-1，

∴G（1，-），

∴GH=，

∵直线BE：y=-x-1与抛物线y=-x2+x-2相较于F，B，

∴F（，-），

∴S△FHB=GH×|xG-xF|+GH×|xB-xG|

=GH×|xB-xF|

=××(3-)

=．

（3）如图2，

由（1）有y=-x2+x-2，

∵D为抛物线的顶点，

∴D（2，），

∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，

∴设M（2，m），（m＞），

∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，OB2=9，

∵∠OMB=90°，

∴OM2+BM2=OB2，

∴m2+4+m2+1=9，

∴m=或m=-（舍），

∴M（2，），

∴MD=-，

∴t=-.