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【题目】如图,在 RtABC 中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,M AC上,且AM=6cm,过点 A( BC AC 同侧)作射线 ANAC,若动点 P 从点 A 出发,沿射线 AN 匀速运动,运动速度为 1cm/s,设点 P 运动时间为 t 秒.

(1)经过 秒时,RtAMP 是等腰直角三角形?

(2)经过几秒时,PM⊥MB?

(3)经过几秒时,PM⊥AB?

(4)△BMP 是等腰三角形时,直接写出 t 的所有值.

【答案】(1)6;(2)2;(3)8;(4)2.

【解析】

(1)得出腰时AM=AP,即可得出答案;

(2)根据垂直的定义和同角的余角相等得到∠CBM=∠AMP,证明△CBM≌△AMP,根据全等三角形的性质得到 AP=CM=2,根据题意得到答案;

(3)证明△APM≌△CAB,根据全等三角形的性质得到 AP=CA=8,根据题意得到答案;

(4) MB=MP PB=PM 两种情况,根据全等三角形的性质,勾股定理计算即可.

(1) Rt△AMP 是等腰直角三角形时,AP=AM=6cm,

∴t=6÷1=6(s),

故答案为:6;

(2) PM⊥MB 时,∠BMP=90°,

∴∠BMC+∠AMP=90°,又∠BMC+∠CBM=90°,

∴∠CBM=∠AMP,

△CBM △AMP 中,

∴△CBM≌△AMP(ASA),

∴AP=CM=2,

∴t=2,即经过 2 秒时,PM⊥MB;

(3) PM⊥AB 时,如图1,∠PHA=90°,

∴∠HPA+∠HAP=90°,又∠HAP+∠CAB=90°,

∴∠APM=∠CAB,

△APM △CAB 中,

∴△APM≌△CAB(ASA),

∴AP=CA=8,

∴t=8,

经过 8 秒时,PM⊥AB;

(4)根据勾股定理得,BM=,BP 的最小值为 8,

<8,

∴BM≠BP,

MB=MP 时,

Rt△BCM Rt△MAP 中,

∴Rt△BCM≌Rt△MAP(HL),

∴AP=CM=2, t=2,

PB=PM 时,如图2,BF⊥AN F, 则四边形 BCAF 为矩形,

∴BF=CA=8,AF=BC=6,

∴PF=6﹣t,

由勾股定理得,BP2=PF2+BF2,MP2=AM2+AP2

∴PF2+BF2=AM2+AP2,即(6﹣t)2+82=62+t2解得,t=

△BMP 是等腰三角形时,t=2 .

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