Question

3．一棵桃树上结了m个桃子，有n只猴子先后来摘挑．第一只猴子摘走了$\frac{1}{2}$，再从树上摘一个吃掉；第二只猴子摘走剩下的$\frac{1}{2}$，再从树上摘一个吃掉；第三只猴子摘走剩下的$\frac{1}{2}$，再从树上摘一个吃掉；第n只猴子也摘走剩下的$\frac{1}{2}$，再从树上摘一个吃掉．
（1）当m=22，n=3时，求树上最后剩下的桃子数；
（2）当n=3时，①用含m的代数式表示树上最后剩下的桃子数；②若树上最后剩下的桃子个数为4个，求原来树上的桃子个数；
（3）用含m、n的代数式表示树上最后剩下的桃子数．

Answer 1

分析 （1）n=3时，先求出第一、二只猴子摘完还剩下的桃子数，然后求出第三只猴子摘完还剩下的桃子数即可；
（2）①与（1）一样，用m表示第一只猴子摘完还剩下的个数，再表示第二只猴子摘完还剩下的个数，最后用m表示第三只猴子摘完还剩下的个数即可；
②令①中树上最后剩下的桃子数等于4列方程，然后解方程求出m即可；
（3）由（2）②三个猴子摘完还剩下的个数的表示方法，可得到代数式的变化规律，从而得到第n只猴子摘完还剩下的桃子的个数．

解答 解：（1）第一只猴子摘走了$\frac{1}{2}$×22=11，再从树上摘一个吃掉，还剩10，；第二只猴子摘走剩下的$\frac{1}{2}$，再从树上摘一个吃掉，还剩10-5-1=4，第三只猴子摘走剩下的$\frac{1}{2}$，再从树上摘一个吃掉还剩4-2-1=1，
即树上最后剩下的桃子数为1；
（2）①当第一只猴子摘完还剩下（$\frac{1}{2}$m-1）个，当第二只猴子摘完还剩下$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$m-1）-1=（$\frac{1}{4}$m-$\frac{3}{2}$）个，第三只猴子摘完还剩下$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$m-$\frac{3}{2}$）-1=（$\frac{1}{8}$m-$\frac{7}{4}$）个，
即n=3时，树上最后剩下的桃子数为（$\frac{1}{8}$m-$\frac{7}{4}$）个；
②（$\frac{1}{8}$m-$\frac{7}{4}$）=4，解得m=46，
所以原来树上的桃子个数为46个；
（3）第一只猴子摘完还剩下（$\frac{1}{{2}^{1}}$•m-$\frac{{2}^{1}-1}{{2}^{0}}$）个，
当第二只猴子摘完还剩下（$\frac{1}{{2}^{2}}$•m-$\frac{{2}^{2}-1}{{2}^{1}}$）个，
第三只猴子摘完还剩下（$\frac{1}{{2}^{3}}$•m-$\frac{{2}^{3}-1}{{2}^{2}}$）个，
所以第n只猴子摘完还剩下（$\frac{1}{{2}^{n}}$•m-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$）个．

点评 本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．