Question

16．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③AM=$\frac{2}{3}$MF；④MD=2AM=4EM．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，得出①正确；
根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；
根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得$\frac{AM}{EM}=\frac{MD}{AM}=\frac{AD}{AE}$=2，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=$\frac{2}{3}$MF，判断出③正确．

解答 解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE=BF=$\frac{1}{2}$BC，
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}&{\;}\\{∠ABC=∠BAD}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°，
∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，
故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，
故②错误；
∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴$\frac{AM}{EM}=\frac{MD}{AM}=\frac{AD}{AE}$=2，
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，
故④正确；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AF}$，即$\frac{AM}{2a}=\frac{a}{\sqrt{5}a}$，
解得：AM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴MF=AF-AM=$\sqrt{5}$a-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，
∴AM=$\frac{2}{3}$MF，
故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：B．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．