Question

7．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线，交AC边于点E，交AB边的延长线于点F．
（1）求证：∠AEF=90°；
（2）若∠F=30°，BF=5，求$\widehat{AD}$的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，根据切线的性质得OD⊥EF，再证明OD∥AC，所以AC⊥EF，则∠AEF=90°；
（2）由OD⊥DF得∠ODF=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系OF=2OD，即OB+5=2OD，可解得OD=5，再计算出∠AOD=90°+∠F=120°，然后根据弧长公式求解．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴AC⊥EF，
∴∠AEF=90°；
（2）解：∵OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∵∠F=30°，
∴OF=2OD，即OB+5=2OD，
而OB=OD，
∴OD=5，
∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°，
∴$\widehat{AD}$的长度=$\frac{120•π•5}{180}$=$\frac{10}{3}$π．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了弧长公式．