Question

19．如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A，B，交y轴的负半轴于C，A的坐标为（-1，0），OA=$\frac{1}{3}$OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，其横坐标为m，PD⊥x轴于点D，交直线BC于点Q．
①当m为何值时，以O，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；
②当D在线段AB上时，求PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据OA=$\frac{1}{3}$OC，可得C点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得BC的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P、Q点，
①分类讨论：当0＜m＜3时，当m≥3时，当m＜0时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
②分类讨论：当0＜m≤3时，当-1≤m≤0时，根据PQ的长，可得二次函数，根据二次函数的增减性，可得答案．

解答 解：（1）由已知可得B（3，0），C（0，-3），将B、C代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）由B（3，0），C（0，-3）可得直线BC的解析式为y=x-3，
OC=3．
P的横坐标为m，P（m，m²-2m-3），Q（m，m-3），
①如图1：，
（Ⅰ）当0＜m＜3时，PQ=-m²+3m，
-m²+3m=3，即m²-3m+3=0，方程无解；
（Ⅱ）当m≥3时，PQ=m²-3m，
m²-3m=3，即m²-3m-3=0，
m=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，m=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$＜3（舍去）；
（Ⅲ）当m＜0时，PQ=m²-3m，
m²-3m=3，即m²-3m-3=0，m=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$＞0（舍去），m=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，
当m₁=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，m₂=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$时，以O，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；
②如图2：，
当-1≤m＜0时，PQ=m²-3m=（m-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
当-1≤m＜0时，PQ随m的增大而减小，
当m=-1时，PQ_最大=（-1）²-3×（-1）=4；
当0＜m≤3时，PQ=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
m=$\frac{3}{2}$时，PQ_最大=$\frac{9}{4}$，
综上所述：m=-1时，PQ_最大=（-1）²-3×（-1）=4．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用函数值相等两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式，（2）①利用了平行四边形的判定得出关于m的方程是解题关键，分类讨论，以防遗漏；②利用二次函数的增减性是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．