Question

【题目】如图，在中，，，

（1）图1中共有_______对相似三角形；

（2）已知，请求出的长；

（3）在（2）的情况下，如果以为轴，为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系（如图2），若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，点出点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动：设运动时间为秒是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；（2）4.8；（3）点P的坐标为（1.35，3）或（3.15，1.8）．

【解析】

（1）根据直角三角形性质和相似三角形判定可得结果；（2）根据勾股定理和三角形面积公式可得；（3）分类讨论：①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB；②当∠BPQ=90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB；根据相似三角形性质和勾股定理可得.

（1）根据已知可得：∠A=∠BCD, ∠B=∠ACD,故：图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD．
故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；
（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC==6．
∵△ABC的面积=ABCD=ACBC，
∴CD==4.8；

（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，
∴OB==3.6．
分两种情况：
①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，

解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，
∴OQ=OB-BQ=3.6-2.25=1.35，BP=BC-CP=6-2.25=3.75．
在△BPQ中，由勾股定理，得PQ===3，
∴点P的坐标为（1.35，3）；

②当∠BPQ=90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，

∴

∴，
解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC-CP=6-3.75=2.25．
过点P作PE⊥x轴于点E．
∵△QPB∽△ACB，
∴，即，
∴PE=1.8．
在△BPE中，BE==0.45，
∴OE=OB-BE=3.6-0.45=3.15，
∴点P的坐标为（3.15，1.8）；
综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（3.15，1.8）．