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【题目】如图,在ABC中,∠ABC=90°OABC外接圆,点D是圆上一点,点DB分别在AC两侧,且BD=BC,连接ADBDODCD,延长CB到点P,使∠APB=DCB

1)求证:AP为⊙O的切线;

2)若⊙O的半径为1,当OED是直角三角形时,求ABC的面积;

3)若BOEDOEAED的面积分别为abc,试探究abc之间的等量关系式,并说明理由.

【答案】1)证明见解析;(2SABC=;(3b2=ac

【解析】试题分析:1欲证明PA是切线,只要证明PAOA即可;
2)分两种情形分别求解即可;
3)只要证明ADOB,可得△AED∽△OEB,推出,再推出可得=2b2=ac

试题解析:

1)证明:∵BD=BC

∴∠BDC=BCD

∵∠P=BCDBAC=BDC

∴∠P=BAC

AC是直径,

∴∠ABC=ABP=90°

∴∠P+BAP=90°

∴∠BAP+BAC=90°

∴∠OAP=90°

OAPA

PA是⊙O的切线.

2)解:①当∠OED=90°时,CB=CD=BDABC是等边三角形,可得∠ACB=30°

AC=2

AB=1BC=

SABC=

②当∠DOE=90°时,易知∠AOB=45°ABCAC边上的高=

SABC=

3)∵BD=BCOD=OCBO=BO

∴△BOD≌△BOC

∴∠OBD=OBC

OB=OD=CO

∴∠OBD=OBC=ODB=OCB

∵∠ADB=OCB

∴∠ADB=OBD

ADOB

∴△AED∽△OEB

=2

b2=ac

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