【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,⊙O是△ABC外接圆,点D是圆上一点,点D、B分别在AC两侧,且BD=BC,连接AD、BD、OD、CD,延长CB到点P,使∠APB=∠DCB.
(1)求证:AP为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为1,当△OED是直角三角形时,求△ABC的面积;
(3)若△BOE、△DOE、△AED的面积分别为a、b、c,试探究a、b、c之间的等量关系式,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)S△ABC=或;(3)b2=ac.
【解析】试题分析:(1)欲证明PA是切线,只要证明PA⊥OA即可;
(2)分两种情形分别求解即可;
(3)只要证明AD∥OB,可得△AED∽△OEB,推出,再推出可得=()2,b2=ac.
试题解析:
(1)证明:∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD,
∵∠P=∠BCD,∠BAC=∠BDC,
∴∠P=∠BAC,
∵AC是直径,
∴∠ABC=∠ABP=90°,
∴∠P+∠BAP=90°,
∴∠BAP+∠BAC=90°,
∴∠OAP=90°,
∴OA⊥PA,
∴PA是⊙O的切线.
(2)解:①当∠OED=90°时,CB=CD=BD,△ABC是等边三角形,可得∠ACB=30°,
∵AC=2,
∴AB=1,BC=,
∴S△ABC=.
②当∠DOE=90°时,易知∠AOB=45°,△ABC的AC边上的高=,
∴S△ABC=.
(3)∵BD=BC,OD=OC,BO=BO,
∴△BOD≌△BOC,
∴∠OBD=∠OBC,
∵OB=OD=CO,
∴∠OBD=∠OBC=∠ODB=∠OCB,
∵∠ADB=∠OCB,
∴∠ADB=∠OBD,
∴AD∥OB,
∴△AED∽△OEB,
∴ ,
∵,
∴=()2,
∴b2=ac.
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【题目】今年4月23日是第23个“世界读书日”.某校围绕学生日人均阅读时间这一问题,对初二学生进行随机抽样调查.如图是根据调查结果绘制成的统计图(不完整),请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)本次抽样调查的样本容量是 .
(2)请将条形统计图补充完整.
(3)在扇形统计图中,计算出日人均阅读时间在1~1.5小时对应的圆心角是 度.
(4)根据本次抽样调查,试估计我市12000名初二学生中日均阅读时间在0.5~1.5小时的有多少人.
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【题目】(本题满分12分)已知,直线AP是过正方形ABCD顶点A的任一条直线(不过B、C、D三点),点B关于直线AP的对称点为E,连结AE、BE、DE,直线DE交直线AP于点F.
(1)如图1,直线AP与边BC相交.
①若∠PAB=20°,则∠ADF= °,∠BEF= °;
②请用等式表示线段AB、DF、EF之间的数量关系,并说明理由;
(2)如图2,直线AP在正方形ABCD的外部,且,,求线段AF的长.
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【题目】定义:若有理数a,b满足等式,则称a,b是“雉水有理数对”,记作如:数对,都是“雉水有理数对”.
数对______填“是”或“不是”“雉水有理数对”;
若是“雉水有理数对”,求m的值;
请写出一个符合条件的“锥水有理数对”______注意:不能与题目中已有的“雉水有理数对”重复
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【题目】某中学九年级数学兴趣小组,在广场上测量位于正东方向的某建筑物AC的高度,如图所示,他先在点B测得该建筑物顶点A的仰角为30°,然后向正东方向前行62米,到达D点,再测得该建筑物顶点A的仰角为60°(B、C、D三点在同一水平面上,且测量仪的高度忽略不计).求该建筑物AC的高度(结果精确的1米,参考数值:)
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【题目】(阅读理解)对于任意正实数a、b,
∵(﹣)2≥0,
∴a﹣2+b≥0,
∴a+b≥2,(只有当a=b时,a+b等于2).
(1)(获得结论)在a+b≥2(a、b均为正实数)中,若ab为定值p,
则a+b≥2,只有当a=b时,a+b有最小值2.
根据上述内容,回答下列问题:若m>0,只有当m= 时,m+有最小值 .
(2)(探索应用)已知点Q(﹣3,﹣4)是双曲线y=上一点,过Q作QA⊥x轴于点A,作QB⊥y轴于点B.点P为双曲线y=(x>0)上任意一点,连接PA,PB,求四边形AQBP的面积的最小值.
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【题目】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( )
A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
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【题目】阅读下面内容,并完成题目
通过计算容易得到下列算式: ,,,...
(1)填写计算结果_ __, _ __, _ __,
(2)观察以上各算式都是个位数字为5的数的平方数,可以看出规律,结果的末两位数字都是25,即是原来数字个位数字5的平方,前面的数字就是原来的数去掉5以后的数字乘以比它大1的结果,如: 就是再连着写25得到225,就是再连着写25得到625,就是再连着写25得到1225,...
如果记-一个个位数字是5的多位数为,试用所学知识计算并归纳解释上述规律
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